एक पंचभुज एक बहुभुज है जिसमें पाँच सीधी भुजाएँ होती हैं। गणित की कक्षा में आपको मिलने वाली लगभग सभी समस्याओं में नियमित पेंटागन शामिल होंगे, जिसमें पाँच बराबर भुजाएँ होंगी। आपके पास कितनी जानकारी है, इस पर निर्भर करते हुए, क्षेत्र को खोजने के दो सामान्य तरीके हैं।
कदम
विधि 1 में से 3: भुजा की लंबाई और एपोथेम से क्षेत्रफल ज्ञात करना
चरण 1. साइड की लंबाई और एपोथेम से शुरू करें।
यह विधि नियमित पेंटागन के लिए काम करती है, जिसमें पाँच बराबर भुजाएँ होती हैं। साइड की लंबाई के अलावा, आपको पेंटागन के "एपोथेम" की आवश्यकता होगी। एपोथेम पेंटागन के केंद्र से एक तरफ की रेखा है, जो पक्ष को 90º समकोण पर काटती है।
- एपोथेम को त्रिज्या के साथ भ्रमित न करें, जो एक मध्य बिंदु के बजाय एक कोने (शीर्ष) को छूता है। यदि आप केवल भुजा की लंबाई और त्रिज्या जानते हैं, तो इसके बजाय अगली विधि पर जाएं।
-
हम भुजा की लंबाई के साथ एक उदाहरण पेंटागन का उपयोग करेंगे
चरण 3। इकाइयों और apothe
चरण 2। इकाइयां
चरण 2. पंचभुज को पाँच त्रिभुजों में विभाजित करें।
पंचकोण के केंद्र से पाँच रेखाएँ खींचिए, जो प्रत्येक शीर्ष (कोने) की ओर ले जाएँ। अब आपके पास पाँच त्रिभुज हैं।
चरण 3. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।
प्रत्येक त्रिभुज में a. होता है आधार पंचभुज की भुजा के बराबर। इसमें एक भी है ऊंचाई पेंटागन के एपोथेम के बराबर। (याद रखें, एक त्रिभुज की ऊँचाई एक शीर्ष से विपरीत दिशा में, समकोण पर चलती है।) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस ½ x आधार x ऊँचाई की गणना करें।
-
हमारे उदाहरण में, त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ x 3 x 2 =
चरण 3। वर्ग इकाइयों।
चरण 4. कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पांच से गुणा करें।
हमने पंचभुज को पाँच बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बस एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को पाँच से गुणा करें।
-
हमारे उदाहरण में, A(कुल पंचभुज) = 5 x A(त्रिकोण) = 5 x 3 =
चरण 15. वर्ग इकाइयों।
विधि 2 का 3: भुजा की लंबाई से क्षेत्रफल ज्ञात करना
चरण 1. केवल साइड की लंबाई से शुरू करें।
यह विधि केवल नियमित पेंटागन के लिए काम करती है, जिसमें समान लंबाई के पांच पक्ष होते हैं।
-
इस उदाहरण में, हम भुजा की लंबाई के साथ एक पेंटागन का उपयोग करेंगे
चरण 7. इकाइयां
चरण 2. पंचभुज को पाँच त्रिभुजों में विभाजित करें।
पंचभुज के केंद्र से किसी भी शीर्ष पर एक रेखा खींचिए। इसे प्रत्येक शीर्ष के लिए दोहराएं। अब आपके पास पाँच त्रिभुज हैं, प्रत्येक का आकार समान है।
चरण 3. एक त्रिभुज को आधा में विभाजित करें।
पंचभुज के केंद्र से एक त्रिभुज के आधार तक एक रेखा खींचिए। इस रेखा को त्रिभुज को दो बराबर, छोटे त्रिभुजों में विभाजित करते हुए, 90º के समकोण पर आधार से टकराना चाहिए।
चरण 4. छोटे त्रिभुजों में से किसी एक को लेबल करें।
हम पहले से ही छोटे त्रिभुज की एक भुजा और एक कोण को लेबल कर सकते हैं:
- NS आधार त्रिभुज का आधा भाग पंचभुज की भुजा है। हमारे उदाहरण में, यह ½ x 7 = 3.5 इकाई है।
- NS कोण पेंटागन के केंद्र में हमेशा 36º होता है। (पूर्ण 360º केंद्र से शुरू करके, आप इसे इन छोटे त्रिभुजों में से 10 में विभाजित कर सकते हैं। 360 ÷ 10 = 36, इसलिए एक त्रिभुज का कोण 36º है।)
चरण 5. त्रिभुज की ऊंचाई की गणना करें।
NS ऊंचाई इस त्रिभुज की भुजा पंचभुज के किनारे से समकोण पर है, जो केंद्र की ओर ले जाती है। हम इस भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए आरंभिक त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं:
- एक समकोण त्रिभुज में, स्पर्शरेखा कोण का कोण विपरीत भुजा की लंबाई के बराबर होता है, जो आसन्न भुजा की लंबाई से विभाजित होता है।
- 36º कोण के विपरीत भुजा त्रिभुज का आधार है (आधा पंचभुज की भुजा)। 36º कोण की आसन्न भुजा त्रिभुज की ऊँचाई है।
- तन(36º) = विपरीत / आसन्न
- हमारे उदाहरण में, तन(36º) = 3.5 / ऊंचाई
- ऊंचाई x तन (36º) = 3.5
- ऊंचाई = 3.5 / तन (36º)
- ऊंचाई = (लगभग) 4.8 इकाइयां
चरण 6. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ आधार x ऊँचाई के बराबर होता है। (ए = ½ बीएच।) अब जब आप ऊंचाई जानते हैं, तो अपने छोटे त्रिकोण के क्षेत्र को खोजने के लिए इन मानों को प्लग करें।
हमारे उदाहरण में, छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½bh = ½(3.5)(4.8) = 8.4 वर्ग इकाई।
चरण 7. पंचभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए गुणा करें।
इन छोटे त्रिभुजों में से एक पेंटागन के क्षेत्रफल का 1/10 भाग कवर करता है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को 10 से गुणा करें।
हमारे उदाहरण में, संपूर्ण पंचभुज का क्षेत्रफल = 8.4 x 10 = 84 वर्ग इकाइयों।
विधि 3 का 3: सूत्र का उपयोग करना
चरण 1. परिधि और एपोथेम का प्रयोग करें।
एपोथेम एक पेंटागन के केंद्र से एक रेखा है, जो एक समकोण पर एक तरफ से टकराती है। यदि आपको इसकी लंबाई दी गई हो, तो आप इस आसान सूत्र का उपयोग कर सकते हैं
- एक नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल = pa/2, जहाँ p = परिमाप और a = एपोटेम।
- यदि आप परिमाप नहीं जानते हैं, तो भुजा की लंबाई से इसकी गणना करें: p = 5s, जहाँ s भुजा की लंबाई है।
चरण 2. साइड की लंबाई का उपयोग करें।
यदि आप केवल भुजा की लंबाई जानते हैं, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें:
- एक सम पंचभुज का क्षेत्रफल = (5 वर्ग मीटर) 2) / (4tan(36º)), जहां s = भुजा की लंबाई।
- तन(36º) = √(5-2√5)। इसलिए यदि आपके कैलकुलेटर में "टैन" फ़ंक्शन नहीं है, तो सूत्र क्षेत्र = (5 s.) का उपयोग करें 2) / (4√(5-2√5)).
चरण 3. एक सूत्र चुनें जो केवल त्रिज्या का उपयोग करता है।
यदि आप केवल त्रिज्या जानते हैं तो भी आप क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस सूत्र का प्रयोग करें:
एक नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल = (5/2) r 2sin(72º), जहां r त्रिज्या है।
वीडियो - इस सेवा का उपयोग करके, कुछ जानकारी YouTube के साथ साझा की जा सकती है।
टिप्स
- अनियमित पेंटागन, या असमान पक्षों वाले पेंटागन का अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। सबसे अच्छा तरीका आमतौर पर पंचकोण को त्रिभुजों में विभाजित करना और प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल को जोड़ना है। आपको पेंटागन के चारों ओर एक बड़ा आकार बनाने, उसके क्षेत्र की गणना करने और अतिरिक्त स्थान के क्षेत्र को घटाने की भी आवश्यकता हो सकती है।
- यहां दिए गए उदाहरण गणित को सरल बनाने के लिए गोल मानों का उपयोग करते हैं। यदि आप दी गई भुजा की लंबाई के साथ एक वास्तविक बहुभुज को मापते हैं, तो आपको अन्य लंबाई और क्षेत्र के लिए थोड़ा अलग परिणाम मिलेगा।
- यदि संभव हो, तो ज्यामितीय विधि और सूत्र विधि दोनों का उपयोग करें, और परिणामों की तुलना करके पुष्टि करें कि आपके पास सही उत्तर है। यदि आप एक ही बार में फ़ॉर्मूला दर्ज करते हैं, तो आपको थोड़े अलग उत्तर मिल सकते हैं (क्योंकि आप रास्ते में चक्कर नहीं लगाएंगे), लेकिन वे बहुत करीब होने चाहिए।
- सूत्र ज्यामितीय विधियों से प्राप्त होते हैं, जो यहाँ वर्णित विधियों के समान हैं। देखें कि क्या आप समझ सकते हैं कि उनके साथ कैसे आना है। त्रिज्या से सूत्र दूसरों की तुलना में प्राप्त करना अधिक कठिन है (संकेत: आपको दोहरे कोण की पहचान की आवश्यकता होगी)।